Propriedades dos Limites Exponênciais

Propriedades dos limites de f(x)=b^x (b elevado a x), onde b>0 e b#1 para x->+∞ ou  x->-∞
(lembrando que ^ significa potência)

P1. Se b>1,   Lim  b^x= 0    e     Lim  b^0= +∞
                     x->-∞                     x->+∞
Exemplo:
a) Lim  5^x = 5^ -∞ = (1/5)^ ∞ = 0
   x->-∞
Como podemos ver, um numero maior que 1 elevado a um numero infinitamente negativo é zero, pois o sinal negativo da potência faz o 5 tornar-se 1/5, e agora 1/5 elevado ao infinito faz do denominador um numero muito grande, e 1/∞ se aproxima a Zero.

b) Lim 5^x = 5^∞ = +∞
   x->+∞
Imagine um número maior que 1 com potência infinita, então esse limite tenderá ao infinito.


P2. Se 0<b<1,    Lim  b^x = 0      e      Lim  b^x = +∞
                          x->+∞                        x->-∞
Exemplo:
a)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^ ∞ = 0
    x->+∞
Um número pequeno elevado a um número infinitamente grande torna-se cada vez mais próximo à zero, por isso o limite tenderá a Zero.

b)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^ -∞ = (3/2)^ ∞ = +∞
    x->-∞
Perceba que o sinal negativo do expoente inverte a fração e passa a ser positivo, agora 3/2= 1,5, e um numero maior que 1 elevado a um expoente infinitamente positivo faz o limite tender ao infinito.


P3. Se  Lim  f(x) = +∞  e  b>1, então  Lim b^f(x) = +∞
           x->a                                       x->a
Exemplo:
a)  Lim 3^1/x² = ?      
    x->0
Então, usando a propriedade P3 temos:
 Lim  1/x² = ∞
 x->0
Substituindo:
 Lim 3^∞ = ∞
 x->0


P4. Se  Lim  f(x) = +∞  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                           x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/2)^3/x² = ?
    x->0
Então, usando a propriedade P4 temos:
 Lim 3/x² = ∞
 x->0
Substituindo:
 Lim (1/2)^∞ = 0
 x->0


P5. Se  Lim  f(x) = -∞  e  b>1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                      x->a
Exemplo:
a)  Lim 4^x³ = ?
    x->-∞
Então, usando a propriedade P5 temos:
 Lim x³  = (-∞)³ = -∞
 x->-∞
Substituindo:
 Lim 4^-∞ = (1/4)^∞ = 0
 x->-∞


P6. Se  Lim  f(x) = -∞  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = +∞
           x->a                                          x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/3)^x³ = ?
    x->-∞
Então, usando a propriedade P6 temos:
 Lim x³  = (-∞)³ = -∞
 x->-∞
Substituindo:
 Lim (1/3)^ -∞ = (3)^∞ = ∞
 x->-∞

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Bons estudos!